При­ведём вер­ное на­пи­са­ние:

1)  Ар­ка­дий с улыб­кой ска­зал Ба­за­ро­ву, что возь­ми меня с собой.  — Кор­рект­но: Ар­ка­дий с улыб­кой ска­зал Ба­за­ро­ву: возь­ми меня с собой. ИЛИ Ар­ка­дий с улыб­кой ска­зал Ба­за­ро­ву, чтобы он взял его с собой.

2)  Скоро здесь будут по­стро­е­ны не толь­ко са­на­то­рии, но и базы от­ды­ха.  — Син­так­си­че­ские нормы не на­ру­ше­ны.

3)  Я все­гда пом­нил и пре­кло­нял­ся перед его му­же­ством.  — Кор­рект­но: Я все­гда пом­нил его и пре­кло­нял­ся перед его му­же­ством.

4)  Со­глас­но рас­по­ря­же­ния за­ве­ду­ю­ще­го, в биб­лио­те­ке будет ор­га­ни­зо­ва­на вы­став­ка книг, не­дав­но из­дан­ных в рес­пуб­ли­ке.  — Кор­рект­но: Со­глас­но рас­по­ря­же­нию за­ве­ду­ю­ще­го, в биб­лио­те­ке будет ор­га­ни­зо­ва­на вы­став­ка книг, не­дав­но из­дан­ных в рес­пуб­ли­ке.

5)  Выйдя из лесу, вдруг за­кру­жи­лась го­ло­ва.  — Кор­рект­но: Когда мы вышли из леса, у меня вдруг за­кру­жи­лась го­ло­ва.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1345.